El Problema del Cuadrado Inscrito
El problema del cuadrado inscrito es una conjetura planteada en 1911 por Otto Toeplitz cuya prueba se mantiene como un problema abierto.
Concisamente, la conjetura consta de la siguiente pregunta:
\[\textit{¿Es posible inscribir un cuadrado en cualquier curva cerrada simple en el plano?}\]
O en términos formales, tendríamos el siguiente cuestionamiento:
\[\textit{¿Toda curva de Jordan } \gamma \textit{ contiene cuatro puntos que son vértices de un cuadrado?}\]
Es importante notar que, en esta página utilizaremos dos tipos de notaciones para la curvas de Jordan.
Denotaremos a las curvas con $J$ cuando las consideremos como un subconjunto dado de $\mathbb{R}^2$ y con $\gamma$ cuando las consideremos como la imagen una función.
Observemos que no es necesario que el cuadrado esté contenido dentro de la curva, de lo contrario existen contraejemplos
Es valioso mencionar que en una publicación de 1915, donde Arnold Emch trabaja una versión más débil de este problema, menciona que fue introducido a la conjetura gracias a Aubrey J. Kempner y que ignoraba el planteamiento de Toeplitz. A raíz de esto, existe la ambigüedad de quién fue la primera persona en plantear el problema del cuadrado inscrito, aunque se le suele atribuir a Toeplitz
A la fecha, se han presentado demostraciones a casos especiales de esta conjetura, esto es, para familias de curvas de Jordan que cumplen ciertas condiciones o criterios de "$\textit{suavidad}$".
Aproximaciones
Al saber que existen demostraciones de la conjetura de Toeplitz para ciertas familias de curvas, es natural hacernos el siguiente planteamiento:
Sea $\{\gamma_i\}$ una sucesión de curvas suaves que inscriben un cuadrado y que aproximan a la curva de Jordan $\gamma$
¿Es posible hallar un cuadrado inscrito en la curva $\gamma$ dada la sucesión de cuadrados inducidos por la sucesión $\{\gamma_i\}$?
Desafortunadamente, la respuesta es no, pues la sucesión de cuadrados pseudo inscritos en $\gamma$ puede tender a un caso degenerado que colapse en un único punto.
Resultados publicados hasta ahora
A continuación presentaremos algunas demostraciones a familias específicas de curvas.
En 1913, Emch demostró la conjetura de Toeplitz para una familia de curvas convexas que cumplían ser "lo suficientemente suaves". Dos años más tarde, publicó On some properties of the medians of closed continous curves formed by analytic arcs donde presentó una demostración para curvas con una condición de suavidad más débil.
Sin embargo, Emch no hizo notar que su segunda prueba, por un argumento límite, implicaba que la conjetura de Toeplitz era verdadera para todas las curvas convexas.
Puede consultar dicho artículo en el siguiente enlace
La idea de la prueba es ver que, dada una curva convexa, para cada dirección existe un rombo inscrito tal que una de sus diagonales es paralela a dicha dirección. Al ir variar la dirección, el rombo va cambiando y en algún momento el rombo debe ser un cuadrado.
Arnold Emch demostró en 1916 la conjetura de Toeplitz para curvas analíticas por partes que tienen una cantidad finita de puntos de inflexión.
En el siguiente enlace puede consultar una idea intuitiva de la prueba de Emch
Stromquist demostró que todo encaje $\gamma : S^{1} \hookrightarrow \mathbb{R}^2$ localmente monótono inscribe un cuadrado
Puede consultar una demostración de Stromquist en el siguiente enlace
La condición de suavidad más débil demostrada a la fecha es la de Matschke, quien demuestra la conjetura de Toeplitz para una curva $\gamma$ cuando existe una $\epsilon$ tal que $ 0 < \epsilon < 2 \pi $ y $\gamma$ no contiene trapezoides especiales de tamaño $\epsilon$
Puede consultar su demostración aquí
Uno de los resultados más recientes fue dado en el 2017 Terrence Tao, quien demuestra la conjetura de Toeplitz para la unión de las gráficas de dos funciones que son Lipschitz continuas.
Puede consultar el artículo original, An integration approach to the Toeplitz square peg problem en el siguiente enlace
- Benjamin Matschke, "A survey on the square peg problem", Notices Amer. Math. Soc. 61 (2014), no. 4, 346352.
- Raquel Rius, "The Square Peg Problem", Universitat De Barcelona (2019)
- Morales-Fuentes, Ulises; Villanueva-Segovia, Cristina, "Rectangles Inscribed in Locally Connected Plane Continua", Topology Proceedings, 58: 37–43 (2021)