Curvas simétricas respecto al origen

Sea $\gamma$ una curva de Jordan simétrica respecto al origen $O$, esto es, si $P\in \gamma$, entonces $-P\in \gamma$.
Definamos a $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ como la función que rota 90º cada $x \in \mathbb{R}^2$, respecto al origen $O$
La clave de la demostración recae en la siguiente observación \[\textit{Si } \gamma \cap f(\gamma)\neq \emptyset, \textit{ entonces } \gamma \textit{ inscribe un cuadrado.} \]
Para demostrar lo anterior, suponga que $\gamma \cap f(\gamma)\neq \emptyset$ entonces existe al menos un punto $ P $ tal que $P \in \gamma \cap f(\gamma)$
Como $P\in f(\gamma)$ entonces $f^{-1}(P)=P' \in \gamma$ y, por definición de $f$ se cumple que $\angle POP' = \frac{\pi}{2}$.
Puesto que $f$ es una rotación, preserva la distancia y $|PO|=|P'O|$
Ya que $\gamma $ es simétrica respecto al origen, se sigue que $-P, -P' \in \gamma$ y que $|-PO|=|PO|$, $|-P'O|=|P'O|$
Dado lo anterior, tenemos que $|P(-P)|=|P'(-P')|$ y que $P(-P) \perp P'(-P')$, lo cual por un argumento similar a este lema constituye un cuadrado inscrito en $\gamma$
Otra forma de demostrar la conjetura de Toeplitz para curvas simétricas respecto a un punto es considerándolo como un caso particular de esta demostración , donde se inscriben rectángulos en curvas simétricas respecto al origen.