Prueba de Emch

Arnold Emch publicó entre 1913 y 1916 tres demostraciones a versiones débiles del problema del cuadrado inscrito, a continuación se presenta la idea intuitiva de su última demostración.
\[\textit{Sea } \gamma : S^1 \hookrightarrow \mathbb{R}^2 \textit{ una curva analítica por partes con una cantidad finita de puntos de inflexión, entonces } \gamma \textit{ inscribe un cuadrado}\] Demostración:

Sea $\gamma : S^1 \hookrightarrow \mathbb{R}^2$ una curva analítica por partes y $\tau$ una recta fija.

Emch considera al conjunto de todas las secantes de $\gamma$ que son paralelas a $\tau$ y define al conjunto de los puntos medios de estas secantes como el $\textit{conjunto de medianas } M_{\tau}$.
También define $\tau ^{\bot}$ como una recta perpendicular a $\tau$ y al conjunto $M_{\tau^{\bot}}$ de manera análoga.

Posteriormente, Emch prueba que, bajo algunas suposiciones de generalidad, $M_{\tau}\cap M_{\tau^{\bot}} \neq \emptyset$ y que $|M_{\tau}\cap M_{\tau^{\bot}} |$ es impar.

Notemos que, por un argumento semejante al siguiente lema, cada punto en $M_{\tau}\cap M_{\tau^{\bot}}$ corresponde a un rombo inscrito en $\gamma$.

Al rotar $90^\circ$ de manera continua a la recta $\tau$, Emch argumenta que $M_{\tau}\cap M_{\tau^{\bot}}$ también varía de manera continua.
Emch propone que, como $|M_{\tau}\cap M_{\tau^{\bot}}|$ es impar, una cantidad impar de sus componentes es $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_4$ invariante, esto es, existen al menos dos elementos en $M_{\tau}\cap M_{\tau^{\bot}}$ que son los mismos componentes en $\mathbb{Z}_4$.

Entonces sean $A, B \in M_{\tau}\cap M_{\tau^{\bot}}$ tales que $A \sim B$, por el teorema del valor medio, al mover $A$ a $B$ de manera continua, en algún momento, las diagonales de los rombos serán de la misma longitud y eso constituirá un cuadrado.