Encajes localmente monótonos

Recordemos este planteamiento de la sección principal de la conjetura de Toeplitz

Sea $\{\gamma_i\}$ una sucesión de curvas suaves que inscriben un cuadrado y que aproximan a la curva de Jordan $\gamma$
¿Es posible hallar un cuadrado inscrito en la curva $\gamma$ dada la sucesión de cuadrados inducidos por la sucesión $\{\gamma_i\}$?

En tal sección argumentamos que no es posible hallar un cuadrado inscrito para la curva de Jordan $\gamma$ pues los cuadrados inscritos pueden colapsar a un punto.
Sin embargo, Stromquist demostró que estos cuadrados no colapsan si la sucesión $\{\gamma_i\}$ consta de curvas $C_1$ y $\gamma$ es un encaje localmente monótono.
Antes de comenzar la demostración tenemos que dar algunas definiciones y una observación.

En esta demostración definimos el tamaño de un cuadrilátero $S = (s_1, s_2, s_3, s_4)$ como $min \{s_4-s_1, (1+s_3)-s_4, (1+s_2)-s_3, (1+s_1)-s_2\}$.
De esta definición es importarte hacer dos observaciones; la primera es que el único cuadrilátero de tamaño $0$ son los cuadriláteros de un único punto, la segunda es que esta definición de tamaño se hace sobre el espacio de parámetros, por lo tanto, el valor del tamaño de un cuadrilátero no tiene relación directa con la longitud de los segmentos del mismo.

Decimos que un segmento de una curva $\gamma _{|_{(a,b)}}$ es monótono en dirección $u$, con $u \in \mathbb{R}^2-\{0\}$ si la función $\gamma _{|_{(a,b)}} \cdot u$ es una función estrictamente creciente para toda $x \in (a,b)$

Decimos que una curva $\gamma$ es localmente monótona si para toda $y\in \mathbb{R}$ existen un intervalo $(y - \mu, y + \mu)$ y una dirección $u(y)$ tal que $\gamma_{|_{(y - \mu, y + \mu)}}$ es monótona en dirección $u(y)$
De estas definiciones se sigue la siguiente

Observación:

No es posible inscribir un cuadrado en un segmento de curva monótono.

Para esto, consideremos a $u$ un vector unitario, entonces tenemos que $\gamma _{|_{(a,b)}} \cdot u = ||\gamma _{|_{(a,b)}}||\cdot ||u|| = cos(\alpha)$ donde $\alpha$ es el ángulo entre $\gamma _{|_{(a,b)}}$ y $u$
Supongamos que existe un cuadrado $S$ inscrito dentro del segmento monótono $\gamma _{|_{(a,b)}}$ y sean $v_1, v_2, v_3, v_4$ los vértices de dicho cuadrado.
Consideremos que $v_1$ y $v_4$ son perpendicularles, entonces el ángulo entre $\gamma(v_4)$ y $u$ es igual al ángulo entre $\gamma(v_1)$ y $u$ más $\frac{\pi}{2}$ pero, por la periodicidad de la función coseno, esto implicaría que $\gamma _{|_{(a,b)}}$ no es monótono, lo que nos da una contradicción.
Con esta información podemos iniciar la demostración.

Demostración:

Sea $\gamma$ un encaje localmente monótono y $\epsilon > 0$, buscaremos aproximar dicho encaje con una sucesión de curvas $\{\gamma_\epsilon\}$ cuando $\epsilon \to 0$

Para cada $\epsilon$ sea $\delta$ tal que $|x-y|< \delta$ implique que $||\gamma(x)-\gamma(y)||< \epsilon$

Así mismo, consideremos una constante $\mu > 0$ tal que $\delta<\frac{1}{2}\mu$.

Definimos cada $\gamma_\epsilon: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2$ como: \[\gamma_\epsilon(x)= \frac{1}{\delta} \int_{t=0}^{\delta} \gamma(x+t)dt\] Tenemos que $||\gamma_\epsilon (x) - \gamma (x)||<\epsilon$ pues, para toda $x$ se cumple que: \[||\gamma_\epsilon(x) - \gamma(x)||= \left| \left|\frac{1}{\delta} \int_{t=0}^{\delta} \gamma(x+t)dt - \frac{1}{\delta} \int_{t=0}^{\delta} \gamma(x)dt \right| \right| \leq \frac{1}{\delta} \int_{t=0}^{\delta} ||\gamma (x+t) - \gamma (x) dt||<\frac{1}{\delta} (\delta\cdot\epsilon) = \epsilon\] Además, $\gamma_\epsilon$ tiene una derivada dada por: \[\gamma_\epsilon'(x)=\frac{1}{\delta}(\gamma(x+\delta)- \gamma(x))\]

Gracias a la monotoneidad local de $\gamma$, para $\epsilon$ suficientemente pequeñas tendremos que $\gamma_\epsilon$ es una curva $C_1$
Puesto que las curvas $C_1$ inscriben cuadrados, consideraremos $S_\epsilon$ como el cuadrado inscrito en $\gamma_\epsilon$ cuyos vértices tienen el mismo orden cíclico en el cuadrado como en la curva.

Ahora veremos que $\gamma_\epsilon$ es localmente monótona con constante $\frac{1}{2} \mu$.

Sea $u(y)$ tal que $\gamma_{|(y-\mu, y+\mu)}$ es monótona en la dirección $u(y)$ y sean $x_1, x_2 \in (y-\frac{1}{2}\mu, y+\frac{1}{2}\mu)$ tales que $x_1< x_2$
Puesto que elegimos que $\gamma$ sea monótona en la dirección $u(y)$ se cumple que: \[(\gamma_\epsilon(x_2)-\gamma_\epsilon(x_1))\cdot u(y)= \left( \frac{1}{\delta} \int_{t=0}^{\delta} (\gamma_\epsilon(x_2+t)-\gamma_\epsilon(x_1+t))dt\right ) \cdot u(y) >0\] Esto es, la monotoneidad de $\gamma$ obliga que la integral sea posiva.
En consecuencia, la cuerda de $\gamma_\epsilon(x_1)$ a $\gamma_\epsilon(x_2)$ tiene un componente positivo en la dirección de $u(y)$.

Se sigue que el cuadrado inscrito $S_\epsilon$ debe tener un tamaño mayor a $\mu$, de lo contrario, sus vértices deberán estar contenidos en un segmento monótono de longitud $\mu$ en $\gamma_\epsilon$. Pero, por la observación dada al principio, esto es una contradicción.
Repitiendo este proceso para cada $\epsilon$, cuando $\epsilon \to 0$ tendremos un cuadrado $S$ de tamaño mayor a $\mu$ que esté inscrito en $\gamma$

Referencias

1. Raquel Rius, The Square Peg Problem, Universitat De Barcelona (2019)