Ejercicios y Preguntas Abiertas

Ejercicios

Ejercicio 1: Demuestre que existe un encaje del triodo simple en \(\mathbb{R}^2\) que no admite ningún rectángulo inscrito.

Ejercicio 2: Demuestre que existe un encaje del arco en \(\mathbb{R}^2\) que no inscribe ningún polígono.

Ejercicio 3: Demuestre que todo encaje del triodo simple en \(\mathbb{R}^2\) admite al menos un triángulo (arbitrario) inscrito.

Ejercicio 4: Demuestre que existen curvas de Jordan que no inscriben pentágonos regulares

Ejercicio 5: Sea P un polígono con 5 o más vértices, demuestre que existe una curva de Jordan que no inscribe a P.

Ejercicio 6: Encontrar una curva de Jordan que contenga 4 puntos que no sean puntos de ningún rectángulo inscrito.

Preguntas Abiertas

A continuación mencionamos algunas de las preguntas abiertas que hay respecto a polígonos inscritos.

Pregunta 1: (Problema del cuadrado inscrito): ¿Toda curva de Jordan admite un cuadrado inscrito?

Pregunta 1.1: ¿Las curvas de Jordan inscriben rectángulos de cualquier razón?

Pregunta 2: ¿Toda copia del círculo de Varsovia en \(\mathbb{R}^2\) admite un cuadrado (rectángulo) inscrito?

Pregunta 3: ¿Existe un continuo no localmente conexo que admite un encaje en \( \mathbb{R}^2 \) que no inscriba rectángulos?

Pregunta 4: ¿El seno del topólogo inscribe rectángulos (cuadrados)?

Pregunta 5: ¿Toda copia en \(\mathbb{R}^2\) de una compactación del rayo \( [0,\infty) \) con residuo no trivial admite rectángulos (cuadrados) inscritos?

Problema 6: Clasificar a los continuos no localmente conexos que para todo encaje en \( \mathbb{R}^2 \) admiten un rectángulo (cuadrado) inscrito

Problema 7: Sea \(X\) el Arco o el Triodo simple. ¿Qué condiciones necesita cumplir \(\gamma:X\rightarrow \mathbb{R}^2 \) para que \(\gamma(X) \) admita rectángulos (cuadrados) inscritos?