Rectángulos Inscritos en Curvas Simétricas Respecto a un Punto

Nielsen y Wright [1] probaron que si un continuo \(X\subset \mathbb{R}^n\) es simétrico respecto a un punto \(p\notin X\), entonces inscribe rectángulos de cualquier razón. En esta sección probaremos el caso en el que \(X\subset \mathbb{R}^2\) es una curva de Jordan simétrica respecto a un punto. Es decir, demostraremos que si una curva de Jordan es simétrica respecto a un punto entonces inscribe rectángulos de cualquier razón.

Teorema. Si \(\gamma: S^1 \to \mathbb{R}^2\) es una curva de Jordan tal que \(\gamma(S^1)\) es simétrico respecto a un punto, entonces \(\gamma\) admite un rectángulo inscrito de razón \(r\) para cada \(r \in (0,1]\).

Demostración: Por hipótesis \(J=\gamma(S^1)\) es simétrica respecto a un punto en \(\mathbb{R}^2\). Sin pérdida de generalidad, supongamos que \(J\) es simétrica respecto al origen \((0,0)\).

Ahora, sean \(p\) y \(q\) puntos de \(J\) tales que la distancia de \(p\) al origen es mínima (tomando en cuenta todos los puntos de \(J\)) y la distancia de \(q\) al origen es máxima (tomando en cuenta todos los puntos de \(J\)). Sea \(\theta \in (0,\pi/2)\) el menor ángulo formado entre las diagonales de un rectángulo de razón \(r\) y consideremos la función \(g_\theta: J \to \mathbb{R}^2\) que a cada \(x\in J\) lo rota \(\theta\) radianes en contra de las manecillas del reloj, respecto al origen

Notemos que la distancia de \(g_\theta(p)\) al origen es igual que la distancia de \(p\) al origen. De esto se sigue que \(g_\theta(p)\) no puede estar en el exterior de \(J\), pues de ser así, el segmento que va de \(g_\theta(p)\) al origen intersectaría a \(J\) en un punto que estaría más cerca del origen que \(p\), contradiciendo la elección de \(p\). De manera similar se prueba que \(g_\theta(q)\) no puede estar en el interior de \(J\).

Como \(g_\theta\) es continua entonces \(g_\theta(J)\) es conexo, y como \(g_\theta(p)\) no está en el exterior de \(J\) (debe estar en el exterior o sobre \(J\)) y \(g_\theta(q)\) no está en el interior de \(J\) (debe estar en el interior o sobre \(J\)) entonces \(g_\theta(J)\) debe intersectar a \(J\) en algún punto. Por tanto, existe \(x\in J\) tal que \(y=g_\theta(x)\in J\).

Así, como \(J\) es simétrica respecto al origen, los puntos \(x,y,-x,-y\) forman un rectángulo de razón \(r\) y los cuatro están en \(J\). Por tanto, las curvas simétricas respecto a un punto inscriben rectángulos de cualquier razón. \(\square\)

En la siguiente animación se puede visualizar la idea de la prueba. El punto \(X\) se mueve a lo largo de la curva y los otros tres están en función de \(X\). El punto \(Y\) viene a ser \(g_\theta(X)\), es decir, rota a \(X\) \(\theta\) radianes respecto al punto \(O\) (puede modificar el ángulo en la casilla de la animación). \(X_{reflejo}\) y \(Y_{reflejo}\) son los reflejados de \(X\) y \(Y\) respecto a \(O\). Notemos que estos cuatro puntos siempre forman un rectángulo de la misma razón (que depende del ángulo en la casilla), que \(X\) y \(X_{reflejo}\) siempre están sobre la curva y que \(Y\) y \(Y_{reflejo}\) cruzan la curva al mismo tiempo, y cuando cruzan se forma un rectángulo de la razón dada que está inscrito en la curva; lo que se argumenta en la prueba es que, en efecto, \(Y\) cruza la curva en algún momento. Al variar el parámetro \(r\) en el slider se puede ver la animación con diferentes curvas.